Estado do Livro: Capa desgastada. Páginas com manchas de oxidação.
Há livros que não são apenas manuais — são **pontes para mundos onde a razão se encontra com a beleza das formas invisíveis**. Este primeiro volume do clássico *Cálculo Diferencial e Integral*, de Piskounov, acompanha o estudante na lenta e luminosa arte de compreender o movimento, o limite, a variação e as curvas que desenham a própria matemática do universo.
Com explicações claras, exemplos progressivos e uma organização que conduz da noção mais simples às ideias profundas do cálculo moderno, esta obra tornou-se companheira fiel de gerações. É o tipo de livro que não assusta: **abre portas**. Mostra que cada função tem voz, que cada derivada esconde um gesto, que cada integral é um abraço entre infinitos pequenos passos.
Para quem deseja aprender com método, rigor e serenidade, este volume é um farol — discreto por fora, **imenso por dentro**.
Índice
Prefácio
CAPÍTULO I
Número, variável, funções
Números reais. Representação dos números reais pelos pontos do eixo numérico
Valor absoluto de um número real
Grandezas variáveis e grandezas constantes
Domínio de definição duma variável
Variável ordenada. Variável crescente e variável decrescente. Variável limitada
Função
Formas de expressão das funções
Funções elementares. Funções algébricas
Sistema de coordenadas polares
Exercícios
CAPÍTULO II
Limite e continuidade das funções
Limite duma grandeza variável
Grandeza variável infinitamente grande
Limite de uma função
Funções que tendem para o infinito. Funções limitadas
Infinitamente pequenos e as suas propriedades fundamentais
Teoremas fundamentais sobre os limites
Limite da função sen x sobre x quando x tende para 0
Logaritmos neperianos
Continuidade das funções
Comparação de infinitamente pequenos
Exercícios
CAPÍTULO III
Derivada e diferencial
Velocidade dum movimento
Derivada
Interpretação geométrica da derivada
Funções deriváveis
Cálculo da derivada da função y igual sen x e y igual cos x
Derivadas das funções e elevado x e a elevado x
Derivada duma soma, dum produto e dum quociente
Derivação duma função logarítmica
Derivadas das funções geometria e tangente. Log x e valor absoluto de x
Função implícita e sua derivada
Derivada duma função potência quando o expoente é uma função
Funções trigonómetricas inversas e sua derivada
Quadro das principais fórmulas de derivação
Equações dadas sob a forma paramétrica
Derivada geométrica
Funções hiperbólicas
Interpretação geométrica do diferencial
Diferenciais de diferentes ordens
Derivadas de diferentes ordens das funções implícitas
Derivação das funções dadas sob a forma paramétrica
Interpretação mecânica da derivada segunda
Equações sob normal, binormal e da normal. Comprimento do raio vector em relação ao ângulo polar
Exercícios
CAPÍTULO IV
Teoremas relativos às funções deriváveis
Teorema relativo às raízes da derivada
Teorema dos crescimentos
Teorema de Cauchy
Limite do quociente de dois infinitamente pequenos da forma zero sobre zero
Limite do quociente de dois infinitamente grandes
Fórmula de Taylor
Desenvolvimento das funções e elevado x, sen x, cos x, pela fórmula de Taylor
Exercícios
CAPÍTULO V
Estudo da variação das funções
Posição do problema
Crescimento e decrescimento das funções
Máximo e mínimo das funções
Função derivável e estudo do máximo e do mínimo
Maior e menor valor duma função sobre um segmento
Aplicação da teoria do máximo e do mínimo com auxílio da fórmula de Taylor
Convexidade e concavidade das curvas. Pontos de inflexão
Estudo geométrico do estudo das funções e da construção das curvas
Estudo das curvas dadas sob forma paramétrica
Exercícios
CAPÍTULO VI
Curvatura duma curva
Comprimento do arco e sua derivada
Curvatura
Cálculo da curvatura das curvas sob a forma paramétrica
Cálculo da curvatura das curvas em coordenadas polares
Raio e centro da evoluta
Propriedades da evoluta
Estudo aproximado das raízes reais duma equação
Exercícios
CAPÍTULO VII
Números complexos. Polinómios
Números complexos. Definições
Princípios de operações sobre números complexos
Potência de um número complexo e extração da raiz de um número complexo
Função exponencial de expoente complexo e suas propriedades
Decomposição de um polinómio em factores
Raízes múltiplas do polinómio
Fórmula de interpolação de Lagrange
Melhor aproximação duma função pelos polinómios de Tchebychev
Exercícios
CAPÍTULO VIII
Funções de várias variáveis
Definição das funções de várias variáveis
Representação geométrica duma função de duas variáveis
Crescimento parcial das funções de duas variáveis
Derivadas parciais das funções de várias variáveis
Interpretação geométrica das derivadas parciais
Diferencial total e diferencial total aproximado
Emprego do diferencial total para cálculos aproximados
Exercícios
CAPÍTULO IX
Aplicações do cálculo diferencial na geometria do espaço
Equações duma curva no espaço
Limite e derivada duma função vectorial duma variável
Derivada direccional
Derivada da tangente e função de direcção
Derivadas de funções vectoriais
Plano osculador
Curvatura da curva. Normal principal
Binormal. Torção duma curva
Vector normal a uma superfície
Exercícios
CAPÍTULO X
Integral indefinido
Primitiva e integral indefinido
Quadro das propriedades do integral indefinido
Integração por mudança de variável
Integração por partes
Integração de certas expressões contendo o trinómio ax ao quadrado mais bx mais c
Integração de certas funções racionais elementares
Integração de certas funções irracionais
Integração das funções hiperbólicas
Integração do tipo f linha sobre f
Integração de binómios diferenciais
Integração de certas classes de funções trigonométricas
Exercícios
CAPÍTULO XI
Integral definido
Posição do problema
Integral definido
Sommas integrais inferior e superior
Propriedades fundamentais do integral definido
Cálculo do integral definido. Fórmula de Newton Leibniz
Mudança de variável num integral definido
Integração por partes
Alargamento da noção de integrais definidos
Fórmula de Chebyshev
Integrais que dependem de um parâmetro
Exercícios
CAPÍTULO XII
Aplicações geométricas e mecânicas do integral definido
Cálculo das áreas em coordenadas rectangulares
Cálculo das áreas em coordenadas polares
Comprimento dum arco de curva
Cálculo do volume dum corpo de revolução
Área da superfície de revolução
Cálculo do trabalho por meio do integral definido
Cálculo do centro de gravidade
Exercícios
Anexo I
Estabelecimento duma dependência funcional a partir dos dados experimentais pelo método dos mínimos quadrados
Anexo II
Fórmula de interpolaçao de Newton. Derivação numérica
Índice alfabético
